در قسمت قبل دیدید که اگر هتل بینهایت پر باشد، همچنان می‌توان مسافران یک اتوبوس بینهایت را در هتل جا داد!
پس از مدتی، هیلبرت هتلی دیگر می‌سازد که بینهایت طبقه دارد و در هر طبقه بینهایت اتاق وجود دارد.سپس به تمام افراد هتل قبلی‌اش می‌گوید که وارد طبقه اول هتل شوند و اتاق‌های طبقه اول پر می‌شوند. پس از مدتی زمان، تمام هتل پر از مسافر می‌شود. یعنی به ازای هر n,m طبیعی، اتاق m در طبقه‌ی n وجود دارد که مسافری در آن است.
بر اثر یک حادثه، هتل جدید هیلبرت دچار آتش‌سوزی می‌شود و هیلبرت ناچار است سریعا تمام مسافران را از هتل خارج کند. او با کمی فکر، می‌تواند تمام مسافران هتل جدید را وارد هتل قدیمی کند و به هر مسافر یک اتاق دهد!
اما چگونه؟!(ابتدا کمی فکر کنید)
هیلبرت، ابتدا به ذهنش رسید که کسی که در طبقه‌ی n و اتاق m است، وارد اتاق Pn ^ m شود.( Pn، nامین عدد اول است) اما یافتن n امین عدد اول کار ساده‌ای نیست. برای همین فکر بهتری کرد، کسی که در طبقه‌ی n و اتاق m است، وارد اتاق 2m*3n شود.
اما اینکار یک مشکلی به همراه داشت، نقشه‌ی مالی هیلبرت کار نمی‌کرد!
هیلبرت، برای درامد خود فکری کرده بود، تنها شرط اینکه اتاقی در هتل بگیرید، داشتن صدهزار دلار پول است، اما این پول را از دست نمی‌دهید!
در واقع، هر روز راس ساعت ۱۲، مسافر اتاق n صدهزار دلار به اتاق n-1 می‌دهد و مسافر اتاق 1، صدهزار دلار به هیلبرت می‌دهد. اینطوری مسافران تا ابد پول دارند و هیلبرت مدام پول در می‌آورد!
بعد از دو روز فکر کردن، ایده‌ای به ذهن هیلبرت رسید.
مطابق شکل، به صورت خط‌ها اریب افراد را وارد هتل کنیم هر هر کس وارد یک اتاق شود، در این صورت همه‌ی افراد وارد هتل می‌شود و نقشه‌ی مالی هم برقرار می‌شود.
در این صورت،کسی که در طبقه‌ی m و اتاق n است، باید به اتاق
(m+n-1)(m+n-2)/2+m
برود.
منابع:کتاب داستان مجموعه‌ها،https://h2g2.com/edited_entry/A4080467