دیوید هیلبرت،ریاضی‌دان آلمانی،با طرح مسئله هتل بینهایت مشکلاتی که در صورت استفاده از بینهایت به عنوان یک عدد به وجود می‌آید را نشان می‌دهد.
مسئله هتل هیلبرت مربوط به مجموعه‌های متناظر است و در آینده با ایده‌هایی که در این مسئله هستند برای اثبات متناظر بودن دو مجموعه استفاده می‌کنیم.
هتلی را فرض کنید که بینهایت اتاق داشته باشد(در عمل چنین چیزی غیر ممکن است.).یعنی به ازای هر عدد طبیعی یک اتاق با همان شماره وجود داشته باشد.
بعد از مدتی این هتل به صورت کامل پر می‌شود! یعنی در هر اتاق حداقل یک نفر زندگی می‌کند.حال بازرسی برای بازدید به هتل هیلبرت می‌آید اما تمام اتاق‌ها پر هستند!
هیلبرت اگر برای بازرس اتاقی فراهم نکند،یکی از ستاره‌های هتل کم می‌شود،همچنین اگر کسی را از اتاق بیرون بکند،آن شخص می‌تواند از هتل شکایت کند و باز هم دردسر می‌شود.
به نظر شما او باید چه کاری انجام دهد؟
هیلبرت،بعد از کمی فکر به یک راه‌حل پیدا می‌کند.
او به تمام افراد می‌گوید که از اتاق n به اتاق n+1 بروند! یعنی اتاق یک به اتاق دو و ... .حال اتاق یک خالی می‌شود و بازرس به اتاق اول می‌رود.
شاید بگویید که آخرین اتاق باید چه کار کند؟! اما آخرین اتاقی وجود ندارد! همانطور که گفتیم هتل بینهایت اتاق دارد.در واقع در اینجا ∞=1+∞
حال اگر بیست نفر به هتل اضافه شوند چه باید کرد؟
همانطور که حدس زدید این بار به تمام افراد باید گفت که از اتاق n به اتاق n+20 بروند.
اما مسئله به همینجا ختم نمی‌شود! ...
منابع:کتاب داستان مجموعه‌ها،https://h2g2.com/edited_entry/A4080467