هتل بینهایت هیلبرت قسمت سوم

در قسمت قبل دیدید که اگر هتل بینهایت پر باشد، همچنان می‌توان مسافران یک اتوبوس بینهایت را در هتل جا داد!
پس از مدتی،‌ هیلبرت هتلی دیگر می‌سازد که بینهایت طبقه دارد و در هر طبقه بی‌نهایت اتاق وجود دارد.سپس به تمام افراد هتل قبلی‌اش می‌گوید که وارد طبقه اول هتل شوند و اتاق‌های طبقه اول پر می‌شوند. پس از مدتی زمان، تمام هتل پر از مسافر می‌شود. یعنی به ازای هر n,m طبیعی، اتاق m در طبقه‌ی n وجود دارد که مسافری در آن است.

بر اثر یک حادثه، هتل جدید هیلبرت دچار آتش‌سوزی می‌شود و هیلبرت ناچار است سریعا تمام مسافران را از هتل خارج کند. او با کمی فکر، می‌تواند تمام مسافران هتل جدید را وارد هتل قدیمی کند و به هر مسافر یک اتاق دهد!
اما چگونه؟!(ابتدا کمی فکر کنید)

هتل بینهایت هیلبرت قسمت دوم

در قسمت قبل با هتل بینهایت هلبرت آشنا شدید.همچنین دیدید که اگر چند مهمان دیگر به هتل بیایند،با اینکه هتل پر است هیچ مشکلی به وجود نمی‌آید و می‌توان کاری کرد که چند اتاق خالی به وجود آید.

اما مسئله به اینجا ختم نمی‌شود!
بعد از مدتی اتوبوسی که بینهایت مسافر داشت(همچون هتل بینهایت هیلبرت،به ازای هر عدد طبیعی n،یک مسافر وجود داشت که nامین مسافر اتوبوس بود.)  به هتل هیلبرت می‌آید و مسافران آن تقاضای اتاق می‌کنند.اما هتل هیلبرت پر است و جایی برای مسافران ندارد!
به نظر شما اینبار باید هیلبرت چه کاری انجام دهد؟(ابتدا کمی فکر کنید)

هتل بینهایت هیلبرت قسمت اول

دیوید هیلبرت،ریاضی‌دان آلمانی،با طرح مسئله هتل بینهایت مشکلاتی که در صورت استفاده از بینهایت به عنوان یک عدد به وجود می‌آید را نشان می‌دهد.

مسئله هتل هیلبرت مربوط به مجموعه‌های متناظر است و در آینده با ایده‌هایی که در این مسئله هستند برای اثبات متناظر بودن دو مجموعه استفاده می‌کنیم.

هتلی را فرض کنید که بینهایت اتاق داشته باشد(در عمل چنین چیزی غیر ممکن است.).یعنی به ازای هر عدد طبیعی یک اتاق با همان شماره وجود داشته باشد.

بعد از مدتی این هتل به صورت کامل پر می‌شود! یعنی در هر اتاق حداقل یک نفر زندگی می‌کند.حال بازرسی برای بازدید به هتل هیلبرت می‌آید اما تمام اتاق‌ها پر هستند!
هیلبرت اگر برای بازرس اتاقی فراهم نکند،یکی از ستاره‌های هتل کم می‌شود،همچنین اگر کسی را از اتاق بیرون بکند،آن شخص می‌تواند از هتل شکایت کند و باز هم دردسر می‌شود.
به نظر شما او باید چه کاری انجام دهد؟

تناظر یک به یک در مجموعه‌ها

فرض کنید دو مجموعه A,B به ما داده باشند.گوییم بین مجموعه A و B تناظر یک به یک وجود دارد،اگر و تنها اگر:

بتوان عضو‌های دو مجموعه را به صورت زوج‌‌های (a,b) در آورد که a عضو A و b عضو B باشند و هر عضو از دو مجموعه،در یکی و تنها یکی زوج‌ها باشند.

می‌توان گفت تعداد دو مجموعه متناظر برابر است.

تناظر دو مجموعه در بسیاری از مسائل ترکیبیات کاربرد دارد.می‌توان به جای شمردن اعضای یک مجموعه،اعضای یک مجموعه متناظر با آن که شمردن عضوهایش ساده تر است را شمرد.

اما اگر دو مجموعه نامتناهی باشند چه؟! تعداد عضو هر دو مجموعه بینهایت است و چه گونه می‌توان گفت تعداد اعضا برابراند؟
معمولا ریاضی‌دانان نمی‌گویند که تعداد دو مجموعه متناهی برابرند و از اصطلاح هم قوت یا هم ارز استفاده می‌کنند.هر چند اگر بگوییم تعداد اعضا برابر است غلط نیست!

در ادامه با استفاده از تناظر دو مجموعه ثابت می‌کنیم که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد صحیح برابر است و ... !

منابع:کتاب داستان مجموعه‌ها