هتل بینهایت هیلبرت قسمت سوم

در قسمت قبل دیدید که اگر هتل بینهایت پر باشد، همچنان می‌توان مسافران یک اتوبوس بینهایت را در هتل جا داد!
پس از مدتی،‌ هیلبرت هتلی دیگر می‌سازد که بینهایت طبقه دارد و در هر طبقه بی‌نهایت اتاق وجود دارد.سپس به تمام افراد هتل قبلی‌اش می‌گوید که وارد طبقه اول هتل شوند و اتاق‌های طبقه اول پر می‌شوند. پس از مدتی زمان، تمام هتل پر از مسافر می‌شود. یعنی به ازای هر n,m طبیعی، اتاق m در طبقه‌ی n وجود دارد که مسافری در آن است.

بر اثر یک حادثه، هتل جدید هیلبرت دچار آتش‌سوزی می‌شود و هیلبرت ناچار است سریعا تمام مسافران را از هتل خارج کند. او با کمی فکر، می‌تواند تمام مسافران هتل جدید را وارد هتل قدیمی کند و به هر مسافر یک اتاق دهد!
اما چگونه؟!(ابتدا کمی فکر کنید)

هتل بینهایت هیلبرت قسمت دوم

در قسمت قبل با هتل بینهایت هلبرت آشنا شدید.همچنین دیدید که اگر چند مهمان دیگر به هتل بیایند،با اینکه هتل پر است هیچ مشکلی به وجود نمی‌آید و می‌توان کاری کرد که چند اتاق خالی به وجود آید.

اما مسئله به اینجا ختم نمی‌شود!
بعد از مدتی اتوبوسی که بینهایت مسافر داشت(همچون هتل بینهایت هیلبرت،به ازای هر عدد طبیعی n،یک مسافر وجود داشت که nامین مسافر اتوبوس بود.)  به هتل هیلبرت می‌آید و مسافران آن تقاضای اتاق می‌کنند.اما هتل هیلبرت پر است و جایی برای مسافران ندارد!
به نظر شما اینبار باید هیلبرت چه کاری انجام دهد؟(ابتدا کمی فکر کنید)

هتل بینهایت هیلبرت قسمت اول

دیوید هیلبرت،ریاضی‌دان آلمانی،با طرح مسئله هتل بینهایت مشکلاتی که در صورت استفاده از بینهایت به عنوان یک عدد به وجود می‌آید را نشان می‌دهد.

مسئله هتل هیلبرت مربوط به مجموعه‌های متناظر است و در آینده با ایده‌هایی که در این مسئله هستند برای اثبات متناظر بودن دو مجموعه استفاده می‌کنیم.

هتلی را فرض کنید که بینهایت اتاق داشته باشد(در عمل چنین چیزی غیر ممکن است.).یعنی به ازای هر عدد طبیعی یک اتاق با همان شماره وجود داشته باشد.

بعد از مدتی این هتل به صورت کامل پر می‌شود! یعنی در هر اتاق حداقل یک نفر زندگی می‌کند.حال بازرسی برای بازدید به هتل هیلبرت می‌آید اما تمام اتاق‌ها پر هستند!
هیلبرت اگر برای بازرس اتاقی فراهم نکند،یکی از ستاره‌های هتل کم می‌شود،همچنین اگر کسی را از اتاق بیرون بکند،آن شخص می‌تواند از هتل شکایت کند و باز هم دردسر می‌شود.
به نظر شما او باید چه کاری انجام دهد؟

تناظر یک به یک در مجموعه‌ها

فرض کنید دو مجموعه A,B به ما داده باشند.گوییم بین مجموعه A و B تناظر یک به یک وجود دارد،اگر و تنها اگر:

بتوان عضو‌های دو مجموعه را به صورت زوج‌‌های (a,b) در آورد که a عضو A و b عضو B باشند و هر عضو از دو مجموعه،در یکی و تنها یکی زوج‌ها باشند.

می‌توان گفت تعداد دو مجموعه متناظر برابر است.

تناظر دو مجموعه در بسیاری از مسائل ترکیبیات کاربرد دارد.می‌توان به جای شمردن اعضای یک مجموعه،اعضای یک مجموعه متناظر با آن که شمردن عضوهایش ساده تر است را شمرد.

اما اگر دو مجموعه نامتناهی باشند چه؟! تعداد عضو هر دو مجموعه بینهایت است و چه گونه می‌توان گفت تعداد اعضا برابراند؟
معمولا ریاضی‌دانان نمی‌گویند که تعداد دو مجموعه متناهی برابرند و از اصطلاح هم قوت یا هم ارز استفاده می‌کنند.هر چند اگر بگوییم تعداد اعضا برابر است غلط نیست!

در ادامه با استفاده از تناظر دو مجموعه ثابت می‌کنیم که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد صحیح برابر است و ... !

منابع:کتاب داستان مجموعه‌ها

پارادوکس حدس می‌زند یا نه؟

احتمالا تا حالا اسم بازی حدس عدد را شنیده‌اید.بازی به این صورت شکل می‌گیرد که شما یک عدد طبیعی بین یک تا صد انتخاب می‌کند؛سپس شما با پرسیدن سوال و ... عدد او را حدس می‌زند.

حال فرض کنید قرار است دوست شما یک عدد طبیعی بین یک تا صد انتخاب کند و شما تنها با یک شانس عدد او را حدس بزنید.واضح است که شانس شما برای درست حدس زدن یک درصد است.تا اینجا مشکلی به وجود نیامده است،اما 

پارادوکس آشیل و ترتیس

آشیل یک دونده سریع است.حال فرض کنید آشیل با یک لاکپشت مسابقه دهد! ولی کمی لاکپشت جلوتر از آشیل قرار دارد.اگر مسافتی که در آن مسابقه می‌دهند خیلی بیشتر از فاصله اولیه آشیل و لاکپشت باشد،خیلی واضح است که آشیل از لاکپشت رد می‌شود.(سرعت آشیل خیلی بیشتر از سرعت لاکپشت است.)اما زنون استدلال می‌کند که آشیل هیچ وقت به لاکپشت نمی‌رسد!

مقدمه‌ای بر پارادوکسها

پارادوکس به معنای متناقض،نقیض هم،در تضاد هم،مخالف هم و... است.

در پارادوکسها به نتیجه‌هایی می‌رسیم که در تضاد یکدیگر هستند! و یا به نتیجه‌ای می‌رسیم که با شهود ما ممکن نیست!
مشکل برخی پارادوکسها رفع شده است،اما در زمانی این پارادوکسها مشکلات جدی بودند.

در واقع هیچ تناقضی وجود ندارد و یک مشکلی در استدلال برای یکی از نتایج وجود دارد،اما پیدا کردن آن مشکل سخت است.
پارادوکسها انواع مختلفی دارند که بعدا درباره آن‌ها صحبت می‌کنیم.همچنین در آینده چندین پارادوکس زیبا که برای شما پیچیده هستند را مطرح می‌کنیم.

منابع :https://mathworld.wolfram.com/Paradox.html

مقدمه‌ای بر نظریه مجموعه‌ها

با کمال تاسف مفهوم اساسی مجموعه را نمی‌توان به‌طور دقیق تعریف کرد.به‌طور ساده می‌توان مجموعه را اجتماع،گروه یا ... تعریف کرد.اما این‌ها تعریف دقیق ریاضی نیستند.
برای اینکه یک مفهوم را تعریف کنیم،قبل از هر چیز باید آن را به عوان حالت خاصی از یک مفهوم کلی تر نشان دهیم.برای مثال برای تعریف مثلث از مفهوم خط استفاده می‌کنیم.اما مفهوم کلی تری از مجموعه در ریاضیات نداریم!

برای بهتر فهم مجموعه،باید ویژگی‌ها و خاصیت‌های آن را بررسی کنیم.در آینده با استفاده از مفهوم مجموعه به این نتیجه می‌رسیم که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج برابرند! یا حتی تعداد اعداد گویا با تعداد اعداد طبیعی! شاید در حال حاضر این نتیجه‌ها کاملا غیر منطقی باشند،اما باید بدانید که گزاره‌هایی درست اند و بعدا به چگونگی این اتفاق‌ها می‌رسیم. ...

 

 

 

منبع:کتاب داستان مجموعه‌ها

حدس عدد دو رقمی با داشتن مکعب آن

با استفاده از این شعبده می‌توانید عددی دو رقمی را با مکعبش به دست آورد.
به دوستتان بگویید یک عدد دو رقمی انتخاب کند؛بعد آن را به توان سه برساند و جواب را به شما بگوید.واضح است که اگر شما یک ماشین‌حساب داشته باشید می‌توانید عدد دوستتان را به دست آورید.اما می‌توان بدون ماشین‌حساب این کار را انجام داد.اما چه گونه؟!

حدس روز تولد

با استفاده از این شعبده،می‌توانید روز تولد بقیه را حدس بزنید و آن‌ها را شگفت ‌زده کنید.
به جدول فوق نگاه کنید؛حال از دوست خود بپرسید که روز تولدش در کدام ستون‌ها جا دارد.برای مثال اگر روز تولد دوستتان 12 باشد،روز تولد او در ستون 3و4 قرار دارد.

حال شما با دانستن ستون‌هایی که روزتولد او در آن‌ها قرار دارد،روز تولد او را حدس بزنید!اما چه طور؟!
برای ادامه مطلب ابتدا کمی فکر کنید.